题目内容

在下列语句中,叙述正确的个数为(  )
①相等的圆周角所对弧相等; ②同圆或等圆中,同弦或等弦所对圆周角相等;
③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形;  ④等弧所对圆周角相等.
分析:①等弧是针对于同圆或等圆来说的,它不适用于大小不等的圆,若没有条件“在同圆或等圆中”,相等的圆周角所对弧不一定相等,此没有为假命题;
②同圆或等圆中,同弦或等弦所对圆周角不一定相等,可画出图形,举出反例说明此命题为假命题,如图所示;
③此命题为真命题,可根据命题画出图形,找出已知与求证,根据中点的定义得到CD与BD相等,都为BC的一半,又AD也为BC的一半,故AD与CD相等,AD与BD相等,利用等边对等角可得两对角相等,又根据三角形的内角和定理得到两对角之和为180°,等量代换可得∠BAC为直角,可得三角形ABC为直角三角形,得证;
④根据等弧所对圆周角相等正确.等弧是指在同圆或等圆.
解答:解:①在同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等,
等弧是针对于同圆或等圆来说的,它不适用于大小不等的圆,此命题为假命题;
②同圆或等圆中,同弦或等弦所对圆周角不一定相等,
如图:BC为圆O的弦,∠A与∠D都为弦BC所对的圆周角,
但是∠A与∠D互补,不一定相等,
此命题为假命题;
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③“一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形”,此命题为真命题,理由为:
已知:△ABC中,AD为BC边上的中线,且AD=
1
2
BC,
求证:△ABC为直角三角形.
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证明:∵AD为BC边上的中线,
∴CD=BD=
1
2
BC,又AD=
1
2
BC,
∴CD=BD=AD,
∴∠C=∠CAD,∠DAB=∠B,
又∠C+∠CAB+∠B=180°,即∠C+∠CAD+∠DAB+∠B=180°,
∴2(∠CAD+∠DAB)=180°,
∴∠CAD+∠DAB=90°,即∠CAB=90°,
则△ABC为直角三角形,
本选项正确;
④等弧所对圆周角相等,此命题为真命题,本选项正确,
综上,真命题为③④,
故选B.
点评:此题考查了圆周角定理,等腰三角形的判定与性质,利用了数形结合及转化的思想,解答此类题时,常常要明白要说明一个命题为真命题必须经过严格的证明,要说明一个命题为假命题,只需举一个反例即可.
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