Question

在下列语句中，叙述正确的个数为（　　）
①相等的圆周角所对弧相等； ②同圆或等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等；
③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；  ④等弧所对圆周角相等．

Answer 1

分析：①等弧是针对于同圆或等圆来说的，它不适用于大小不等的圆，若没有条件“在同圆或等圆中”，相等的圆周角所对弧不一定相等，此没有为假命题；
②同圆或等圆中，同弦或等弦所对圆周角不一定相等，可画出图形，举出反例说明此命题为假命题，如图所示；
③此命题为真命题，可根据命题画出图形，找出已知与求证，根据中点的定义得到CD与BD相等，都为BC的一半，又AD也为BC的一半，故AD与CD相等，AD与BD相等，利用等边对等角可得两对角相等，又根据三角形的内角和定理得到两对角之和为180°，等量代换可得∠BAC为直角，可得三角形ABC为直角三角形，得证；
④根据等弧所对圆周角相等正确．等弧是指在同圆或等圆．

解答：解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等，
等弧是针对于同圆或等圆来说的，它不适用于大小不等的圆，此命题为假命题；
②同圆或等圆中，同弦或等弦所对圆周角不一定相等，
如图：BC为圆O的弦，∠A与∠D都为弦BC所对的圆周角，
但是∠A与∠D互补，不一定相等，
此命题为假命题；

③“一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形”，此命题为真命题，理由为：
已知：△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD=

1

2

BC，
求证：△ABC为直角三角形．

证明：∵AD为BC边上的中线，
∴CD=BD=

1

2

BC，又AD=

1

2

BC，
∴CD=BD=AD，
∴∠C=∠CAD，∠DAB=∠B，
又∠C+∠CAB+∠B=180°，即∠C+∠CAD+∠DAB+∠B=180°，
∴2（∠CAD+∠DAB）=180°，
∴∠CAD+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，
则△ABC为直角三角形，
本选项正确；
④等弧所对圆周角相等，此命题为真命题，本选项正确，
综上，真命题为③④，
故选B．

点评：此题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，利用了数形结合及转化的思想，解答此类题时，常常要明白要说明一个命题为真命题必须经过严格的证明，要说明一个命题为假命题，只需举一个反例即可．