题目内容
在下列语句中,叙述正确的个数为
①相等的圆周角所对弧相等; ②同圆或等圆中,同弦或等弦所对圆周角相等;
③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形; ④等弧所对圆周角相等.
- A.1个
- B.2个
- C.3个
- D.4个
B
分析:①等弧是针对于同圆或等圆来说的,它不适用于大小不等的圆,若没有条件“在同圆或等圆中”,相等的圆周角所对弧不一定相等,此没有为假命题;
②同圆或等圆中,同弦或等弦所对圆周角不一定相等,可画出图形,举出反例说明此命题为假命题,如图所示;
③此命题为真命题,可根据命题画出图形,找出已知与求证,根据中点的定义得到CD与BD相等,都为BC的一半,又AD也为BC的一半,故AD与CD相等,AD与BD相等,利用等边对等角可得两对角相等,又根据三角形的内角和定理得到两对角之和为180°,等量代换可得∠BAC为直角,可得三角形ABC为直角三角形,得证;
④此命题为真命题,首先根据等弧对等角,得到等弧所对的圆心角相等,再利用等弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍得到等弧所对所有的圆周角相等.
解答:①在同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等,
等弧是针对于同圆或等圆来说的,它不适用于大小不等的圆,此命题为假命题;
②同圆或等圆中,同弦或等弦所对圆周角不一定相等,
如图:BC为圆O的弦,∠A与∠D都为弦BC所对的圆周角,
但是∠A与∠D互补,不一定相等,
此命题为假命题;
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201304/51d685a6ab1a4.png)
③“一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形”,此命题为真命题,理由为:
已知:△ABC中,AD为BC边上的中线,且AD=
BC,
求证:△ABC为直角三角形.
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201304/51d685a6d7a31.png)
证明:∵AD为BC边上的中线,
∴CD=BD=
BC,又AD=
BC,
∴CD=BD=AD,
∴∠C=∠CAD,∠DAB=∠B,
又∠C+∠CAB+∠B=180°,即∠C+∠CAD+∠DAB+∠B=180°,
∴2(∠CAD+∠DAB)=180°,
∴∠CAD+∠DAB=90°,即∠CAB=90°,
则△ABC为直角三角形,
本选项正确;
④“等弧所对圆周角相等”,此命题为真命题,理由为:
∵等弧所对的圆心角相等,而此时圆心角等于它所对圆周角的2倍,
∴等弧所对圆周角相等,
本选项正确,
综上,真命题的个数有两个,为③和④,
则叙述正确的个数为2.
故选B.
点评:此题考查了圆周角定理,等腰三角形的判定与性质,利用了数形结合及转化的思想,解答此类题时,常常要明白要说明一个命题为真命题必须经过严格的证明,要说明一个命题为假命题,只需举一个反例即可.
分析:①等弧是针对于同圆或等圆来说的,它不适用于大小不等的圆,若没有条件“在同圆或等圆中”,相等的圆周角所对弧不一定相等,此没有为假命题;
②同圆或等圆中,同弦或等弦所对圆周角不一定相等,可画出图形,举出反例说明此命题为假命题,如图所示;
③此命题为真命题,可根据命题画出图形,找出已知与求证,根据中点的定义得到CD与BD相等,都为BC的一半,又AD也为BC的一半,故AD与CD相等,AD与BD相等,利用等边对等角可得两对角相等,又根据三角形的内角和定理得到两对角之和为180°,等量代换可得∠BAC为直角,可得三角形ABC为直角三角形,得证;
④此命题为真命题,首先根据等弧对等角,得到等弧所对的圆心角相等,再利用等弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍得到等弧所对所有的圆周角相等.
解答:①在同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等,
等弧是针对于同圆或等圆来说的,它不适用于大小不等的圆,此命题为假命题;
②同圆或等圆中,同弦或等弦所对圆周角不一定相等,
如图:BC为圆O的弦,∠A与∠D都为弦BC所对的圆周角,
但是∠A与∠D互补,不一定相等,
此命题为假命题;
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201304/51d685a6ab1a4.png)
③“一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形”,此命题为真命题,理由为:
已知:△ABC中,AD为BC边上的中线,且AD=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/13.png)
求证:△ABC为直角三角形.
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201304/51d685a6d7a31.png)
证明:∵AD为BC边上的中线,
∴CD=BD=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/13.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/13.png)
∴CD=BD=AD,
∴∠C=∠CAD,∠DAB=∠B,
又∠C+∠CAB+∠B=180°,即∠C+∠CAD+∠DAB+∠B=180°,
∴2(∠CAD+∠DAB)=180°,
∴∠CAD+∠DAB=90°,即∠CAB=90°,
则△ABC为直角三角形,
本选项正确;
④“等弧所对圆周角相等”,此命题为真命题,理由为:
∵等弧所对的圆心角相等,而此时圆心角等于它所对圆周角的2倍,
∴等弧所对圆周角相等,
本选项正确,
综上,真命题的个数有两个,为③和④,
则叙述正确的个数为2.
故选B.
点评:此题考查了圆周角定理,等腰三角形的判定与性质,利用了数形结合及转化的思想,解答此类题时,常常要明白要说明一个命题为真命题必须经过严格的证明,要说明一个命题为假命题,只需举一个反例即可.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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