题目内容

【题目】如图,在ABCD中,AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E、F,AE、BF相交于点M.
(1)试说明:AE⊥BF;
(2)判断线段DF与CE的大小关系,并予以说明.

【答案】
(1)解:方法一:如图①,

∵在ABCD中,AD∥BC,

∴∠DAB+∠ABC=180°.

∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC,

∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF.

∴2∠BAE+2∠ABF=180°.

即∠BAE+∠ABF=90°.

∴∠AMB=90°.

∴AE⊥BF.

方法二:如图②,延长BC、AE相交于点P,

∵在ABCD中,AD∥BC,

∴∠DAP=∠APB.

∵AE平分∠DAB,

∴∠DAP=∠PAB.

∴∠APB=∠PAB.

∴AB=BP.

∵BF平分∠ABP,

∴AP⊥BF,

即AE⊥BF


(2)解:方法一:线段DF与CE是相等关系,即DF=CE,

∵在ABCD中,CD∥AB,

∴∠DEA=∠EAB.

又∵AE平分∠DAB,

∴∠DAE=∠EAB.

∴∠DEA=∠DAE.

∴DE=AD.

同理可得,CF=BC.

又∵在ABCD中,AD=BC,

∴DE=CF.

∴DE﹣EF=CF﹣EF.

即DF=CE.

方法二:如图,延长BC、AE设交于点P,延长AD、BF相交于点O,

∵在ABCD中,AD∥BC,

∴∠DAP=∠APB.

∵AE平分∠DAB,

∴∠DAP=∠PAB.

∴∠APB=∠PAB.

∴BP=AB.

同理可得,AO=AB.

∴AO=BP.

∵在ABCD中,AD=BC,

∴OD=PC.

又∵在ABCD中,DC∥AB,

∴△ODF∽△OAB,△PCE∽△PBA.

= =

∴DF=CE.


【解析】(1)因为AE,BF分别是∠DAB,∠ABC的角平分线,那么就有∠MAB= ∠DAB,∠MBA= ∠ABC,而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补,所以,能得到∠MAB+∠MBA=90°,即得证.(2)两条线段相等.利用平行四边形的对边平行,以及角平分线的性质,可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形,那么就有CF=BC=AD=DE,再利用等量减等量差相等,可证.

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