题目内容
【题目】如图,在ABCD中,AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E、F,AE、BF相交于点M.
(1)试说明:AE⊥BF;
(2)判断线段DF与CE的大小关系,并予以说明.
【答案】
(1)解:方法一:如图①,
∵在ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC,
∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF.
∴2∠BAE+2∠ABF=180°.
即∠BAE+∠ABF=90°.
∴∠AMB=90°.
∴AE⊥BF.
方法二:如图②,延长BC、AE相交于点P,
∵在ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAP=∠APB.
∵AE平分∠DAB,
∴∠DAP=∠PAB.
∴∠APB=∠PAB.
∴AB=BP.
∵BF平分∠ABP,
∴AP⊥BF,
即AE⊥BF
(2)解:方法一:线段DF与CE是相等关系,即DF=CE,
∵在ABCD中,CD∥AB,
∴∠DEA=∠EAB.
又∵AE平分∠DAB,
∴∠DAE=∠EAB.
∴∠DEA=∠DAE.
∴DE=AD.
同理可得,CF=BC.
又∵在ABCD中,AD=BC,
∴DE=CF.
∴DE﹣EF=CF﹣EF.
即DF=CE.
方法二:如图,延长BC、AE设交于点P,延长AD、BF相交于点O,
∵在ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAP=∠APB.
∵AE平分∠DAB,
∴∠DAP=∠PAB.
∴∠APB=∠PAB.
∴BP=AB.
同理可得,AO=AB.
∴AO=BP.
∵在ABCD中,AD=BC,
∴OD=PC.
又∵在ABCD中,DC∥AB,
∴△ODF∽△OAB,△PCE∽△PBA.
∴ = , = .
∴DF=CE.
【解析】(1)因为AE,BF分别是∠DAB,∠ABC的角平分线,那么就有∠MAB= ∠DAB,∠MBA= ∠ABC,而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补,所以,能得到∠MAB+∠MBA=90°,即得证.(2)两条线段相等.利用平行四边形的对边平行,以及角平分线的性质,可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形,那么就有CF=BC=AD=DE,再利用等量减等量差相等,可证.