题目内容
【题目】如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是 .
(1)EF=OE;(2)S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)BE+BF=OA;(4)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=;(5)OGBD=AE2+CF2.
【答案】(1),(2),(3),(5).
【解析】
试题分析:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOF+∠COF=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠COE=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,
,
∴△BOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,BE=CF,
∴EF=OE;故正确;
(2)∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD,
∴S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;故正确;
(3)∴BE+BF=BF+CF=BC=OA;故正确;
(4)过点O作OH⊥BC,
∵BC=1,
∴OH=BC=,
设AE=x,则BE=CF=1﹣x,BF=x,
∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=x(1﹣x)+(1﹣x)×=﹣(x﹣)2+,
∵a=﹣<0,
∴当x=时,S△BEF+S△COF最大;
即在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=;故错误;
(5)∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,
∴△OEG∽△OBE,
∴OE:OB=OG:OE,
∴OGOB=OE2,
∵OB=BD,OE=EF,
∴OGBD=EF2,
∵在△BEF中,EF2=BE2+BF2,
∴EF2=AE2+CF2,
∴OGBD=AE2+CF2.故正确.