题目内容
【题目】阅读下面材料:
在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?
小敏在思考问题是,有如下思路:连接AC.
结合小敏的思路作答
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;参考小敏思考问题方法解决一下问题:
(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.
①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;
②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.
【答案】(1)是平行四边形;(2)①AC=BD;②AC⊥BD.
【解析】
试题分析:(1)如图2,连接AC,根据三角形中位线的性质得到EF∥AC,EF=AC,然后根据平行四边形判定定理即可得到结论;
(2)①由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,且FG=BD,HG=AC,于是得到当AC=BD时,FG=HG,即可得到结论;
②根据平行线的性质得到GH⊥BD,GH⊥GF,于是得到∠HGF=90°,根据矩形的判定定理即可得到结论.
试题解析:(1)是平行四边形.证明如下:
如图2,连接AC,∵E是AB的中点,F是BC的中点,∴EF∥AC,EF=AC,同理HG∥AC,HG=AC,综上可得:EF∥HG,EF=HG,故四边形EFGH是平行四边形;
(2)①AC=BD.
理由如下:
由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,且FG=BD,HG=AC,∴当AC=BD时,FG=HG,∴平行四边形EFGH是菱形;
②当AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形;理由如下:
同(2)得:四边形EFGH是平行四边形,∵AC⊥BD,GH∥AC,∴GH⊥BD,∵GF∥BD,∴GH⊥GF,∴∠HGF=90°,∴四边形EFGH为矩形.