Question

对于一元二次方程ax²+bx+c=0，下列说法：
①若b=a+c，则方程必有一根为x=-1；           ②若c是方程的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
③若b＞4ac，则方程一定有两个不相等实数根；  ④若2a+3c=b，则方程一定有两个不等的实数根．
其中正确结论有____个．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入一元二次方程ax²+bx+c=0可对①进行判断；把x=c代入ax²+bx+c=0得ac²+bc+c=0得到c（ac+b+1）=0，于是可对②进行判断；根据根的判别式对③进行判断；把b=2a+3c代入b²-4ac计算得到（2a+3b）²-4ac=4a²+8ac+9b²=4（a+c）²+5c²，而a≠0，则有b²-4ac＞0，于是可对④进行判断．
解答：当x=-1，则a-b+c=0，即b=a+c，所以①正确；
把x=c代入ax²+bx+c=0得ac²+bc+c=0，若c=0，则不一定有ac+b+1=0，所以②错误；
当一元二次方程ax²+bx+c=0的b²-4ac＞0，即b²＞4ac，方程一定有两个不相等实数根，所以③错误；
当2a+3c=b，则b²-4ac=（2a+3b）²-4ac=4a²+8ac+9b²=4（a+c）²+5c²，而a≠0，于是b²-4ac＞0，所以④正确．
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．