题目内容
（2014•金山区一模）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．
（1）如图2，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；
（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．
（1）如图2，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；
（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．
分析：（1）①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA，由对顶角相等得∠PDA=∠CDE，则∠PAD=∠CDE，根据三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC，则∠ABC=∠DEC，
=
，且得到PB=PE．在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=5，则PB=PE=5-x，DE=5-2x，然后利用相似比即可得到y关于x的函数关系式；
②设BE的中点为Q，连结PQ，由于PB=PE，根据等腰三角形的性质得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，则△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-
x+4（圆心距），BQ=-
x+3（⊙Q的半径），根据两圆外切的性质得到-
x+4=x+（-
x+3），然后解方程即可；
（2）分类讨论：当点E在线段BC延长线上时，利用（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-
x+4，CQ=BC-BQ=
x，在Rt△CQI中，根据勾股定理得CI2=CQ2+IQ2=（
x）2+（-
x+4）2=
x2-
x+16，再由CI=AP得到
x2-
x+16=x2，解得x1=
，x2=4，由于0＜x＜
，由此得到AP的长为
；
同理当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=
x-4，CQ=BC-BQ=
x，在Rt△CQI中，CI2=CQ2+IQ2=
x2-
x+16，利用CI=AP得到
x2-
x+16=x2，解得x1=
，x2=4，由于
＜x＜5，则AP的长为4，由此得到AP的长为
或4．
| BC |
| CE |
| DE |
| AB |
②设BE的中点为Q，连结PQ，由于PB=PE，根据等腰三角形的性质得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，则△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（2）分类讨论：当点E在线段BC延长线上时，利用（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-
| 9 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
| 20 |
| 13 |
| 5 |
| 2 |
| 20 |
| 13 |
同理当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=
| 9 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
| 20 |
| 13 |
| 5 |
| 2 |
| 20 |
| 13 |
解答：
解：（1）①∵AP=DP，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠PAD=∠CDE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴∠ABC=∠DEC，
=
．
∴PB=PE．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=
=5，
∴PB=PE=5-x，DE=5-2x，
∴
=
，
∴y=-
x+3（0＜x＜
）；
②设BE的中点为Q，连结PQ，如图，
∵PB=PE，
∴PQ⊥BE，
又∵∠ABC=90°，
∴PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴
=
=
，即
=
=
，
∴PQ=-
x+4，BQ=-
x+3，
当以BE为直径的圆和⊙P外切时，-
x+4=x+（-
x+3），解得x=
，即AP的长为
；
（2）当点E在线段BC延长线上时，
由（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-
x+4-x=-
x+4，
CQ=BC-BQ=3-（-
x+3）=
x，
在Rt△CQI中，CI2=CQ2+IQ2=（
x）2+（-
x+4）2=
x2-
x+16，
∵CI=AP，
∴
x2-
x+16=x2，
解得x1=
，x2=4（不合题意，舍去），
∴AP的长为
；
当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=x-（-
x+4）=
x-4，
CQ=BC-BQ=3-（-
x+3）=
x，
在Rt△CQI中，CI2=CQ2+IQ2=（
x）2+（
x-4）2=
x2-
x+16，
∵CI=AP，
∴
x2-
x+16=x2，
解得x1=
（舍去），x2=4，
∴AP的长为4，
综上所述，AP的长为
或4．
解：（1）①∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠PAD=∠CDE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴∠ABC=∠DEC，
| BC |
| CE |
| DE |
| AB |
∴PB=PE．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=
| AC2+BC2 |
∴PB=PE=5-x，DE=5-2x，
∴
| 3 |
| y |
| 5 |
| 5-2x |
∴y=-
| 6 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
②设BE的中点为Q，连结PQ，如图，
∵PB=PE，
∴PQ⊥BE，
又∵∠ABC=90°，
∴PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴
| PQ |
| AC |
| PB |
| AB |
| BQ |
| BC |
| PQ |
| 4 |
| 5-x |
| 5 |
| BQ |
| 3 |
∴PQ=-
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
当以BE为直径的圆和⊙P外切时，-
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
（2）当点E在线段BC延长线上时，
由（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-
| 4 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
CQ=BC-BQ=3-（-
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
在Rt△CQI中，CI2=CQ2+IQ2=（
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
∵CI=AP，
∴
| 18 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
解得x1=
| 20 |
| 13 |
∴AP的长为
| 20 |
| 13 |
当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=x-（-
| 4 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
CQ=BC-BQ=3-（-
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
在Rt△CQI中，CI2=CQ2+IQ2=（
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
∵CI=AP，
∴
| 18 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
解得x1=
| 20 |
| 13 |
∴AP的长为4，
综上所述，AP的长为
| 20 |
| 13 |
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握两圆相切的性质和三角形相似的判定与性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算；能运用分类讨论的思想解决问题．
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