Question

金银花自古被誉为清热解毒的良药，同时也是很多高级饮料的常用原料．“渝蕾一号”为重庆市中药研究院所选育的金银花优良品种，较传统金银花具有质量好、产量高、结蕾整齐等优点．某花农于前年引进一批“渝蕾一号”金银花种苗进行种植，去年第一次收获．因金银花入药或作饮料需要使用干燥花蕾，该花农将收获的新鲜金银花全部干燥成干花蕾后出售．根据经验，每亩鲜花蕾产量y（千克）与每亩种苗数x（株）满足关系式：y=-0.1x²+24.15x-440，每亩成本z（元）与每亩种苗数x（株）之间的函数关系满足下表：

每亩种苗数x（株）	100	110	120	130	140
每亩成本z（元）	1800	1860	1920	1980	2040

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，求出z与x的函数关系式；
（2）若该品种金银花的折干率为20%（即每100千克鲜花蕾，干燥后可得20千克干花蕾），去年每千克干花蕾售价为200元，则当每亩种苗数x为多少时，每亩销售利润W可获得最大值，并求出该最大利润；（利润=收入-成本）
（3）若该花农按照（2）中获得最大利润的方案种植，并不断改善养植技术，今年每亩鲜花蕾产量比去年增加2a%．但由于市场上同类产品数量猛增，造成每千克干花蕾的售价比去年降低0.5a%，结果今年每亩销售总额为45810元．请你参考以下数据，估算出a的整数值（0＜a＜10）．（参考数据：

5

≈2.24，

6

≈2.45，

7

≈2.65，

8

≈2.83）

Answer 1

分析：（1）由表格可知，苗数x每增加10株，成本z就增加60元，由此可判断z与x是一次函数关系，设z=kx+b，把其中两组 值代入，列方程组求k、b即可；
（2）根据：每亩销售利润W=每千克干花蕾售价×折干率20%×每亩鲜花蕾产量y-每亩成本z，列出函数关系式，整理可得出二次函数关系式，利用二次函数的性质，求每亩销售利润W的最大值；
（3）当获得最大利润时，每亩种苗数x=120株，由此可得每亩成本z=1920元，根据：（最大利润+每亩成本）÷（200×20%），得出去年每亩鲜花蕾产量y，根据：今年每亩销售总额=去年每亩鲜花蕾产量×20%×（1+2a%）×今年每千克干花蕾的售价，列方程求a．

解答：解：（1）由表格知，z为x的一次函数，设z=kx+b（k≠0）．
∵当x=100时，z=1800；当x=110时，z=1860，
∴

100k+b=1800 110k+b=1860

，
解得

k=6 b=1200

，
∴z=6x+1200，
当x=100时，z=1800，
经检验，表格中每组数据均满足该关系式，
∴该函数关系式为z=6x+1200；

（2）由题意知，W=200•20%y-z
=200•20%（-0.1x²+24.15x-440）-（6x+1200）
=-4x²+960x-18800=-4（x-120）²+38800，
∵-4＜0，
∴当x=120时，W_最大=38800，
∴当每亩种苗数为120株时，每亩销售利润W可获得最大值，最大利润为38800元；

（3）∵当x=120时，z=1920，
∴y=（38800+1920）÷（200×20%）=1018，
根据题意有20%•1018（1+2a%）•200（1-0.5a%）=45810，
设a%=m，则原方程可化为8m²-12m+1=0，
解得 m=

12±4 7

16

=

3± 7

4

≈

3±2.65

4

，
∴m1≈

3+2.65

4

=1.4125，m2≈

3-2.65

4

=0.0875，
∴a₁=100m₁=141.25＞10（舍去）   a₂=100m₂=8.75≈9，
∴a的值约为9．

点评：本题考查了二次函数的应用．关键是根据表格判断函数关系式，根据题意，列出每亩销售利润W与每亩种苗数x的函数关系式，利用二次函数的性质求最大值，再根据题意，列一元二次方程求a的值．