Question

（2013•齐齐哈尔）如图，蜂巢的横截面由正六边形组成，且能无限无缝隙拼接，称横截面图形由全等正多边形组成，且能无限无缝隙拼接的多边形具有同形结构．
若已知具有同形结构的正n边形的每个内角度数为α，满足：360=kα（k为正整数），多边形外角和为360°，则k关于边数n的函数是

k=

2n

n-2

（n=3，4，6）或k=2+

4

n-2

（n=3，4，6）

（写出n的取值范围）

Answer 1

分析：先根据n边形的内角和为（n-2）•180°及正n边形的每个内角相等，得出α=

(n-2)•180

n

，再代入360=kα，即可求出k关于边数n的函数关系式，然后根据k为正整数求出n的取值范围．

解答：解：∵n边形的内角和为（n-2）•180°，
∴正n边形的每个内角度数α=

(n-2)•180

n

，
∵360=kα，
∴k•

(n-2)•180

n

=360，
∴k=

2n

n-2

．
∵k=

2n

n-2

=

2(n-2)+4

n-2

=2+

4

n-2

，k为正整数，
∴n-2=1，2，±4，
∴n=3，4，6，-2，
又∵n≥3，
∴n=3，4，6．
即k=

2n

n-2

（n=3，4，6）．
故答案为k=

2n

n-2

（n=3，4，6）．

点评：本题考查了n边形的内角和公式，正n边形的性质及分式的变形，根据正n边形的性质求出k关于边数n的函数关系式是解题的关键．