题目内容

【题目】如图,在△ABC和△ADC中,已知AB8,∠ACB105°,∠B45°,且∠ACB=∠BAD,∠B=∠D,则线段CD的长是____

【答案】8

【解析】

CEAB于点E,作AFCD于点F,根据已知可以求出∠CAE=30°,从而得到∠DAC =75°,∠DCA=60°, BE=CE=a,在RTCAE中求出BE的值,,由于CF=CE=BE,从而得到AFDF,从而得到CD的长度.

解:作CEAB于点E,作AFCD于点F
则∠CED=CEB=90°,∠AFD=AFC=90°
∵在ABC中,∠ACB=105°,∠B=45°,∴∠CAE=30°,∴∠ECA=60°
∵∠ACB=105°,∠B=45°,且∠ACB=BAD,∠B=D
∴∠D=45°,∠BAD=105°
∴∠DAC=BAD-CAE=75°
∴∠DCA=60°,∠CAF=30°
BE=a,则CE=aAE=8-a
∵∠CAE=30°,∠CEA=90°
=tan30°
解得,a=4-1),
AC=2a=8-1),
∵∠AFC=90°,∠ACF=60°
CF=4-1),AF=12-4
∵∠AFD=90°,∠D=45°
DF=AF=12-4
CD=DF+CF=12-4+4-1=8
故答案为:8

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