题目内容
【题目】综合题探究发现
(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
填空:①∠AEB的度数为;②线段AD,BE之间的数量关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
【答案】
(1)∠AEB=60°,AD=BE
(2)解:∠AEB=90°,AE=BE+2CM,
理由:如图2,
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°,
∵点A、D、E在同一直线上,
∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°,
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.
∵CD=CE,CM⊥DE,
∴DM=ME.
∵∠DCE=90°,
∴DM=ME=CM,
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
【解析】(1)利用等边三角形的性质可证出△ACD≌△BCE,进而得出∠ADC=∠BEC=120°;(2)借鉴(1)的方法,证△ACD≌△BCE,可得出AD=BE,∠ADC=∠BEC,进而得出AE=AD+DE=BE+2CM.

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