Question

如图，已知圆内接△ABC中，AB＞AC，D为

BAC

的中点，DE⊥AB于E，求证：BD²-AD²=AB•AC．

Answer 1

分析：在BA上截取BF=CA，连DF，DC，由D为

BAC

的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到DB=DC，易得△DBF≌△DCA，得到AE=EF，于是有BF=BE-EF=BE-AE=CA，因此BD²-AD²=BE²-AE²=（BE+AE）（BE-AE）=AB•AC．

解答：证明：在BA上截取BF=CA，连DF，DC，如图，
∵D为

BAC

的中点，
∴DB=DC，
又∵∠DBF=∠ACD，
∴△DBF≌△DCA，
∴DF=DA，
而DE⊥AB，
∴AE=EF，
∴BF=BE-EF=BE-AE=CA，
又∵BD²=BE²+DE²，AD²=AE²+DE²，
∴BD²-AD²=BE²-AE²=（BE+AE）（BE-AE）=AB•AC，即证．

点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质和等腰三角形的性质以及勾股定理．