Question

24、如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？

Answer 1

分析：（1）要证DE是⊙O的切线，必须证ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要证AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，又BD⊥AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°．

解答：解：（1）连接OD与BD两点，
∵△BDC是Rt△，且E为BC中点，
∴∠EDB=∠EBD．（2分）
又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°．
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵∠EDO=∠ABC=90°，若要AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点
又∵BD⊥AC
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠CAB=45°，
所以当∠CAB为45°时，四边形AOED是平行四边形．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．