Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB，垂足为C，∠A＝30°，连结BE，M为BE的中点，连结MF，过点F作直线FD∥AE，交AB的延长线于点D．

（1）求证：FD是⊙O的切线；

（2）若MF＝，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为2．

【解析】

（1）连接，，如图，利用等腰三角形的性质得到．而，所以，再根据切线的性质得即可；

（2）连接，如图，利用圆周角定理得到．再证明得到．而，所以，设的半径为，利用含30度的直角三角形三边的关系得，然后根据勾股定理得到结论．

（1）证明：连接OE，OF，如图1，

∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴∠DOF＝∠DOE，

∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，

∴∠DOF＝60°，

∵∠D＝30°，

∴∠OFD＝90°．

∴OF⊥FD．

∴FD为⊙O的切线；

（2）连接OM．如图2所示：

∵AB为⊙O的直径，

∴O为AB中点，∠AEB＝90°．

∵M为BE的中点，

∴OM∥AE，OM＝AE，

∵∠A＝30°，

∴∠MOB＝∠A＝30°．

∵∠DOF＝2∠A＝60°，

∴∠MOF＝90°，

∴OM2+OF2＝MF2．

设⊙O的半径为r．

∵∠AEB＝90°，∠A＝30°，

∴BE＝AB＝r，AE＝BE＝r，

∴OM＝AE＝r，

∵FM＝，

∴（r）2+r2＝（）2．

解得r＝2（舍去负根），

∴⊙O的半径为2．