Question

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

Answer 1

分析：（1）本题是一次函数的分段函数，二次函数的综合应用题，需要逐步求解，理解题意，写出自变量的范围．为解答（2）打基础；
（2）的基本等量关系是：纯收益=市场售价-种植成本．由于P是分段函数，所以h也是分段函数，求最大利润，就要在每一个分段函数内，根据自变量取值范围，函数性质来确定．

解答：解：（1）由图-可得市场售价与时间的函数关系为
P=

300-t，0≤t≤200 2t-300，200＜t≤300

由图二可得种植成本与时间的函数关系为
Q=

1

200

（t-150）²+100，0≤t≤300

（2）设t时刻的纯收益为h，则由题意得h=P-Q，即
h=

- 1 200 t2+ 1 2 t+ 175 2 ；0≤t≤200 - 1 200 t2+ 7 2 t- 1025 2 ；200＜t≤300

当0≤t≤200时，配方整理得
h=-

1

200

（t-50）²+100
所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100
当200＜t≤300时，配方整理得
h=-

1

200

（t-350）²+100
所以，当t=300时，h取得区间[200，300]上的最大值87.5
综上，由100＞87.5可知，h在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．

点评：一次函数与分段函数，二次函数，自变量取值范围在本题中都得到了体现，要根据题目给的范围，找准等量关系，分段求最大值．