题目内容

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2 $数学公式$ ），∠BCO=60°，OH⊥BC于点H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t秒．
（1）求OH的长；
（2）若△OPQ的面积为S（平方单位）．求S与t之间的函数关系式．并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少；
（3）设PQ与OB交于点M．
①当△OPM为等腰三角形时，求（2）中S的值．
②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论．

解：（1）∵AB∥OC
∴∠OAB=∠AOC=90°
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2 $\text{[math]}$
∴OB=4，tan∠ABO= $\text{[math]}$ ，
∴∠ABO=60°，
∵AB∥OC
∴∠BOC=60°
又∵∠BCO=60°
∴△BOC为等边三角形
∴OH=OBcos30°=4× $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ；

（2）∵OP=OH-PH=2 $\text{[math]}$ -t
∴x_p=OPcos30°=3- $\text{[math]}$ t，
y_p=OPsin30°= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t．
∴S= $\text{[math]}$ •OQ•x_p= $\text{[math]}$ •t•（3- $\text{[math]}$ t）

= $\text{[math]}$ （o＜t＜2 $\text{[math]}$ ）
即S=- $\text{[math]}$
∴当t= $\text{[math]}$ 时，S_最大= $\text{[math]}$ ；

（3）①若△OPM为等腰三角形，则：
（i）若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC
∴PQ∥OC
∴OQ=y_p即t= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
解得：t= $\text{[math]}$
此时S= $\text{[math]}$
（ii）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，∴∠OQP=45°
过P点作PE⊥OA，垂足为E，则有：EQ=EP
即t-（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t）=3- $\text{[math]}$ t

解得：t=2
此时S= $\text{[math]}$
（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB，∴PQ∥OA
此时Q在AB上，不满足题意．
②线段OM长的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由图知图形很特殊，利用直线的平行关系，求出直角，在直角三角形中解题，从而求出OH的长；
（2）由几何关系求出P点坐标，将△OPQ的面积为S用t来表示，转化为求函数最值问题；
（3）思维要严密，△OPM为等腰三角形时，要分三种情况来讨论；最后一问求出M点坐标，同样转化为函数最值问题．
点评：此题是一道动态型压轴题，融函数、数形结合，分类讨论等重要数学思想于其中的综合题，考查的知识主要有：直线形、解直角三角形、函数等重点知识，此题计算较易，但对学生的能力要求较高，解题时要切实把握几何图形的运动过程，用运动、发展、全面的观点分析图形，采取“动中求静，静中求动”的解题策略，才能作出正确的解答．该题综合性强、灵活性大、区分度高，是今后中考命题的抢眼题型，要引起我们今后教学的高度关注．