题目内容
【题目】如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,交⊙O于点P,OA=5,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.
(1)求证:AB=AC.
(2)若PC=2,求⊙O的半径.
【答案】(1)证明见试题解析;(2)⊙O的半径为3.
【解析】
试题分析:(1)由同圆半径相等和对顶角相等得∠OBP=∠APC,由圆的切线性质和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°,则∠ABP=∠ACB,根据等角对等边得AB=AC;
(2)设⊙O的半径为r,分别在Rt△AOB和Rt△ACP中根据勾股定理列等式,并根据AB=AC得52﹣r2=(2)2﹣(5﹣r)2,求出r的值即可.
试题解析:(1)连接OB,∵OB=OP,∴∠OPB=∠OBP,∵∠OPB=∠APC,
∴∠OBP=∠APC,∵AB与⊙O相切于点B,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,
∴∠ABP+∠OBP=90°,∵OA⊥AC,∴∠OAC=90°,∴∠ACB+∠APC=90°,∴∠ABP=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)设⊙O的半径为r,在Rt△AOB中,AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2,
在Rt△ACP中,AC2=PC2﹣PA2,AC2=(2)2﹣(5﹣r)2,
∵AB=AC,∴52﹣r2=(2)2﹣(5﹣r)2,解得:r=3,
则⊙O的半径为3.
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