题目内容

如图（1），在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．容易证得：CE=CF；
（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°．试猜想GE、BE、GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：
①如图（2），在四边形ABCD中∠B=∠D=90°，BC=CD，点E，点G分别是AB边，AD边上的动点．若∠BCD=α°，∠ECG=β°，试探索当α和β满足什么关系时，图（1）中GE、BE、GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．
②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图（3））．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．

解：（1）∵DF=BE，∠FDC=∠EBC，BC=DC，
∴△EBC≌△FDC，
∴∠DCF=∠BCE，
∵∠GCE=45°，所以∠BCE+∠DCG=90°-45°=45°，
即∠DCG+∠DCF=45°，
于是有GC=GC，
∠ECG=∠FCG，
CF=CE，
于是△ECG≌△FCG，
故EG=GF，即GE=BE+GD．

（2）①α=2β，
延长AD到F点，使DF=BE，连接CF，可证△EBC≌△FDC，
则∠BCE+∠DCG=∠GCF，由α=2β可知∠ECG=∠GCF，
可证△ECG≌△FCG，
故EG=GF，即GE=BE+GD．

②根据（1）的证明．可以得到：AM+CN=MN．
∴p=BM+MN+BN=BM+AM+BN+NC=BA+BC=2．
分析：（1）利用正方形的性质和∠GCE=45°，求出∠GCD+∠BCE=45°，得出∠ECG=∠FCG，再根据△EBC≌△FDC，然后证出△ECG≌△FCG，即可得出结论；
（2）①当α=2β时，（1）中的三角形的全等关系即可证明是成立的；
②根据（1）的证明．可以得到：AM+CN=MN，据此即可证明△MNP的周长等于正方形边长的2倍，据此即可求解．
点评：本题主要考查了图形的旋转，以及正方形的性质，正确理解（1）中的证明以及结论是解题的关键．