Question

（2012•徐州）如图，直线y=x+b（b＞4）与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数y=-

4

x

的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆．CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E．
（1）△CDE是

等腰直角

三角形；点C的坐标为

（

-b- b2-16

2

，

b- b2-16

2

）

，点D的坐标为

（

-b+ b2-16

2

，

b+ b2-16

2

）

（用含有b的代数式表示）；
（2）b为何值时，点E在⊙O上？
（3）随着b取值逐渐增大，直线y=x+b与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据一次函数的性质得出∠DCE=45°，即可得出△CDE是等腰直角；再将y=x+b与y=-

4

x

，联立求出交点坐标即可；
（2）根据已知得出四边形CAOE、OEDB是等腰梯形，进而得出OE=AC=BD=CD，再利用△AFC∽△AOB，求出b的值，即可得出答案；
（3）根据整个图形是轴对称图形，得出点O、E、G在对称轴上，即GC=GD=

1

2

CD=

1

2

OG=

1

2

AG，再得出△AHC∽△AOB，求出b的值即可，进而判断出直线y=x+b与⊙O的位置关系和b的取值范围．

解答：解：（1）根据直线y=x+b（b＞4）与反比例函数y=-

4

x

的图象相交于点C、D，CE∥x轴，DE∥y轴，
则y=x+b与y=x平行，
故∠DCE=45°，
则△CDE是等腰直角三角形；
将y=x+b与y=-

4

x

，联立得出：
x+b=-

4

x

，
解得：x₁=

-b+ b2-16

2

，x₂=

-b- b2-16

2

，分别代入y=x+b得：
y₁=

b+ b2-16

2

，y₂=

b- b2-16

2

，
故点C的坐标为：（

-b- b2-16

2

，

b- b2-16

2

），
点D的坐标为：（

-b+ b2-16

2

，

b+ b2-16

2

）；
故答案为：等腰直角，（

-b- b2-16

2

，

b- b2-16

2

），（

-b+ b2-16

2

，

b+ b2-16

2

）；

（2）当点E在⊙O上时，如图1，连接OE．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴E点横坐标为：

-b+ b2-16

2

，纵坐标为：

b- b2-16

2

，
则OE=CD．
∵直线y=x+b与x轴、y轴相交于点A（-b，0），B（0，b），CE∥x轴，DE∥y轴，
∴△DCE、△AOB是等腰直角三角形．
∵整个图形是轴对称图形，
∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=45°．
∵CE∥x轴，DE∥y轴，
∴四边形CAOE、OEDB是等腰梯形．
∴OE=AC=BD．
∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD．
过点C作CF⊥x轴，垂足为点F．
则△AFC∽△AOB．
∴

CF

BO

=

AC

AB

=

1

3

．
∴AF=CF=

1

3

BO=

1

3

b．
∴

b- b2-16

2

=

1

3

b，
解得：b=±3

2

．
∵b＞4，∴b=3

2

．
∴当b=3

2

时，点E在⊙O上．

（3）当⊙O与直线y=x+b相切于点G时，
如图2，连接OG．
∵整个图形是轴对称图形，
∴点O、E、G在对称轴上．
∴GC=GD=

1

2

CD=

1

2

OG=

1

2

AG．
∴AC=CG=GD=DB．
∴AC=

1

4

AB．
过点C作CH⊥x轴，垂足为点H．  
则△AHC∽△AOB．
∴

CH

BO

=

AC

AB

=

1

4

．
∴C的纵坐标：yC=CH=

1

4

BO=

1

4

b．
∴

b- b2-16

2

=

1

4

b，
解得b=±

8 3

3

．
∵b＞4，∴b=

8 3

3

．
∴当b=

8 3

3

时，直线y=x+b与⊙O相切；
当4＜b＜

8 3

3

时，直线y=x+b与⊙O相离；
当b＞

8 3

3

时，直线y=x+b与⊙O相交．

点评：此题主要考查了圆的综合题目以及一次函数与反比函数的综合应用和相似三角形的判定与性质，利用数形结合得出对应线段之间的关系是解题关键．