Question

如图，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：要判断直角顶点的个数，只要判定以AE为直径的圆与线段BD的位置关系即可，相交时有2个点，相切时有1个，外离时有0个，不会出现更多的点．

解答：解：设两个矩形的长是a，宽是b．连接AE，
如图在△AEQ中，
根据勾股定理可得：
AE=

(a+b)2+(a-b)2

=

2a2+2b2

；
过AE的中点M作MN⊥BD于点N．则MN是梯形ABDE的中位线，
则MN=

1

2

（a+b）；
以AE为直径的圆，半径是

2a2+2b2

2

，

1

2

（a+b）=

1

2

a+

1

2

b≤

2(a2+b2)

2

，
而只有a=b是等号才成立，
因而

1

2

（a+b）＜

2(a2+b2)

2

，
即圆与直线BD相交，则直角顶点P的位置有两个．
故选C．

点评：本题主要是根据直径所对的圆周角是直角，把判定顶点的个数的问题，转化为直线与圆的位置关系的问题来解决．