题目内容

如图①,在平面直角坐标系中,点P(0,m2)(m>0)在y轴正半轴上,过点P作平行于x轴的直线,分别交抛物线C1于点A、B,交抛物线C2于点C、D.原点O关于直线AB的对称点为点Q,分别连接OA,OB,QC和QD.
【猜想与证明】
填表:
m
1
2
3

 
 
 
由上表猜想:对任意m(m>0)均有=   .请证明你的猜想.
【探究与应用】
(1)利用上面的结论,可得△AOB与△CQD面积比为   
(2)当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时,求△CQD与△AOB面积之差;
【联想与拓展】
如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E,过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F.在y轴上任取一点M,连接MA、ME、MD和MF,则△MAE与△MDF面积的比值为   
猜想与证明:
填表为:
m
1
2
3




。理由见解析
探究与运用:
(1)
(2)27。
联想与拓展

试题分析:猜想与证明:
当m=1时,1=x2,1=x2,∴x=±2,x=±3。∴AB=4,CD=6。∴
当m=2时,4=x2,4=x2,∴x=±4,x=±6。∴AB=8,CD=12。∴
当m=3时,9=x2,9=x2,∴x=±6,x=±9。∴AB=12,CD=18。∴
探究与证明:
(1)由条件可以得出△AOB与△CQD高相等,就可以得出面积之比等于底之比而得出结论:
(2)分两种情况讨论,当△AOB为等腰直角三角形时,可以求出m的值就可以求出△AOB的面积,从而求出△CQD的面积,就可以求出其差,当△CQD为等腰直角三角形时,可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积,进而可以求出结论。
解:猜想与证明:
填表为:
m
1
2
3




对任意m(m>0)均有。证明如下:
将y=m2(m>0)代入,得x=±2m,
∴A(﹣2m,m2),B(2m,m2)。∴AB=4m。
将y=m2(m>0)代入,得x=±3m,
∴C(﹣3m,m2),D(3m,m2)。∴CD=6m。

∴对任意m(m>0)均有
探究与运用:
(1)∵O、Q关于直线CD对称,∴PQ=OP。
∵CD∥x轴,∴∠DPQ=∠DPO=90°。∴△AOB与△CQD的高相等。
,∴AB=CD。
∵SAOB=AB•PO,SCQD=CD•PQ,∴
(2)当△AOB为等腰直角三角形时,如图,

∴PO=PB=m2,AB=2OP。
∴m2=m4。∴4m2=m4,解得m1=0,m2=﹣2,m3=2。
∵m>0,∴m=2。
∴OP=4,AB=8,PD=6,CD=12。
∴SAOB==16,SCQD==24。
∴SCQD﹣SAOB=24﹣16=8。
当△CQD是等腰直角三角形时,如图,

∴PQ=PO=PD=m2,CD=2QP。
∴m2=m4。∴9m2=m4,∴m1=0,m2=﹣3,m3=3。
∵m>0,∴m=3。
∴OP=6,AB=12,PQ=9,CD=18。
∴SAOB==54,SCQD==81。
∴SCQD﹣SAOB=81﹣54=27。
联想与拓展:
由猜想与证明可以得知A(﹣2m,m2),D(3m,m2),
∵AE∥y轴,DF∥y轴,∴E点的横坐标为﹣2m,F点的横坐标为3m。
∴y=(﹣2m)2,y=(3m)2,∴y=m2,y=m2。∴E(﹣2m, m2),F(3m, m2)。
∴AE=m2m2=m2,DF=m2﹣m2=m2
∴SAEM=×m2•2m=m3,SDFM=×m2•3m=m3。∴
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