题目内容

(2007•西城区二模)若等边△ABC的边长为6cm长,内切圆O分别切三边于D、E、F,则阴影部分的面积是(  )
分析:连接OA,OE,OF,OD,AD,则AD过O,求出BD、AD,求出三角形ABC的面积,根据S△OBC=
1
3
S△ABC,求出OD,求出∠BOC,根据扇形的面积公式求出即可.
解答:解:连接OA,OE,OF,OD,AD,则AD过O,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=DC=3,
由勾股定理得:AD=
AB2-BD2
=
62-32
=3
3

∴S△ABC=
1
2
BC×AD=
1
2
×6×3
3
=9
3

∵等边三角形ABC的内切圆⊙O分别且AB、BC、AC于F、D、E,
∴OF⊥AB,OD⊥BC,OE⊥AC,
∵AB=BC=AC=6,OD=OE=OF,
∴S△AOC=S△OBC=S△OAC
∴S△OBC=
1
3
S△ABC=3
3

1
2
BC×OD=3
3

1
2
×6OD=3
3

∴OD=
3

∵⊙O是等边△ABC的内切圆,
∴∠OBC=
1
2
∠ABC=30°,
同理∠OCB=30°,
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°,
∴阴影部分的面积是:
120π× 
3
×
3
 
360
=π,
故选A.
点评:本题考查了扇形的面积,三角形的面积,勾股定理,三角形的内切圆,等边三角形性质等知识点的应用,关键是求出OD的长和∠BOC的度数,主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力,题目综合性比较强,有一定的难度.
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