Question

已知：如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在BC的延长线上，EF=EB，EF与CD相交于点G．
（1）求证：EG•GF=CG•GD；
（2）连接DF，如果EF⊥CD，那么∠FDC与∠ADC之间有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．

Answer 1

分析：（1）连接ED，首先证明△BCE≌△DCE，得∠EDC=∠EBC；利用此条件再证明∠DGE∽△FGC，即可得到EG•GF=CG•GD．
（2）利用第一题的结论，可证明△DGE∽△FGC，再利用三角形内角外角关系即可得到∠ADC与∠FDC的关系．

解答：（1）证明：连接ED，（1分）
∵点E在菱形ABCD的对角线AC上，
∴∠ECB=∠ECD，（2分）
∵BC=CD，CE=CE，
∴△BCE≌△DCE；（3分）
∴∠EDC=∠EBC，（4分）
∵EB=EF，
∴∠EBC=∠EFC；（5分）
∴∠EDC=∠EFC；（6分）
∵∠DGE=∠FGC，
∴△DGE∽△FGC；（7分）
∴

EG

CG

=

GD

FG

，∴EG•GF=CG•GD；（8分）

（2）解：∠ADC=2∠FDC．（9分）
证明如下：∵

EG

CG

=

GD

FG

，∠DGF=∠EGC，
∴△CGE∽△FGD；（10分）
∵EF⊥CD，DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠DFG=90°-∠FDC，（11分）
∴∠ADC=180°-2∠DAC=180°-2（90°-∠FDC）=2∠FDC．（12分）

点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点，属于综合题型．