Question

已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y=（k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+．
（1）当n=1时，求点A的坐标；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）设n是小于20的整数，且k≠，求OP²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据三角形的面积公式得到s=a•n．而s=1+，把n=1代入就可以得到a的值．
（2）易证△OPA是等腰直角三角形，得到m=n=，根据三角形的面积S=•an，就可以解得k的值．
（3）易证△OPQ∽△OAP，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，就可以得到关于k，n的方程，从而求出k，n的值．得到OP的值．
解答：解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，
（1）当n=1时，s=，（1分）
∴a==．（3分）

（2）解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．（4分）
∴m=n=．（5分）
∴1+=•an．
即n⁴-4n²+4=0，（6分）
∴k²-4k+4=0，
∴k=2．（7分）
解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．（4分）
∴m=n．（5分）
设△OPQ的面积为s₁
则：s₁=∴•mn=（1+），
即：n⁴-4n²+4=0，（6分）
∴k²-4k+4=0，
∴k=2．（7分）

（3）解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，
∴△OPQ∽△OAP．
设：△OPQ的面积为s₁，则=（8分）
即：=化简得：
2n⁴+2k²-kn⁴-4k=0（9分）
（k-2）（2k-n⁴）=0，
∴k=2或k=（舍去），（10分）
∴当n是小于20的整数时，k=2．
∵OP²=n²+m²=n²+又m＞0，k=2，
∴n是大于0且小于20的整数．
当n=1时，OP²=5，
当n=2时，OP²=5，
当n=3时，OP²=3²+=9+=，（11分）
当n是大于3且小于20的整数时，
即当n=4、5、6…19时，OP²的值分别是：
4²+、5²+、6²+…19²+，
∵19²+＞18²+＞3²+＞5，（12分）
∴OP²的最小值是5．（13分）
点评：本题是函数与三角形相结合的题目，题目的难度较大．