题目内容
(1997•福州)已知:如图,在⊙O中,弦AB的长是半径OA的
倍,C为弧AB的中点.AB、OC相交于P点,求证:四边形OACB是菱形.
3 |
分析:由C为弧AB的中点,OC为半径,利用垂径定理的逆定理得到PA=PB,OC垂直于AB,由AP为AB的一半,根据题中条件用AO表示出AP,在直角三角形AOP中,利用勾股定理表示出OP,进而确定出OP=PC,即四边形ACBO对角线互相平分,可得出此四边形为平行四边形,再由对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证.
解答:证明:∵C为
的中点,OC为半径,
∴PA=PB,AB⊥OC,
∵AP=
AB=
AO,
∴OP=
=
=
OA=
OC,
∴PC=
OC,即OP=PC,
∴四边形OACB是平行四边形,
又∵AB⊥OC,
∴四边形OACB是菱形.
AB |
∴PA=PB,AB⊥OC,
∵AP=
1 |
2 |
| ||
2 |
∴OP=
AO2-AP2 |
AO2-
|
1 |
2 |
1 |
2 |
∴PC=
1 |
2 |
∴四边形OACB是平行四边形,
又∵AB⊥OC,
∴四边形OACB是菱形.
点评:此题考查了垂径定理,勾股定理,菱形的判定,以及平行四边形的判定,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
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