Question

已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°．
（1）求证：BD•BC=BG•BE；
（2）求证：AG⊥BE；
（3）若E为AC的中点，求EF：FD的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，易证△GBD∽△CBE，得

BD

BE

=

BG

BC

，即BD•BC=BG•BE；
（2）可通过证明ABG∽△EBA从而求得AG⊥BE；
（3）首先连接DE，E是AC中点，D是BC中点，得出DE∥BA，因为BA⊥AC，所以 DE⊥AC设AB=2a AE=a，做CH⊥BE交BE的延长线于H，再利用△AEG≌△CEH，以及△DEF∽△BHC得出即可．

解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴

BD

BE

=

BG

BC

即BD•BC=BG•BE；

（2）证明：∵BD•BC=BG•BE，∠C=45°，
∴BG=

BD•BC

BE

=

1 2 BC•BC

BE

=

1 2 ( 2 AB)2

BE

=

AB2

BE

，
∴

AB

BG

=

BE

AB

，∠ABG=∠EBA
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE；

（3）解：连接DE，
连接DE，E是AC中点，D是BC中点，
∴DE∥BA，
∵BA⊥AC，
∴DE⊥AC，设AB=2a AE=a，做CH⊥BE交BE的延长线于H，
∵∠AEG=∠CEH，∠AGE=∠CHE，AE=EC
∴△AEG≌△CEH（AAS），
∴CH=AG，
∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角，
∴BE=

5

a，
∴AG=AB×

AE

BE

=

2

5

a=

2 5

5

a，
∴CH=

2 5

5

a，
∵AG⊥BE，∠FGE=45°，
∴∠AGF=45°=∠ECB，
∵∠FGE=45°，
∴∠AGE=90°，
∴AG∥CH，
∴∠GAE=∠HCE，
∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB；
∴∠DFE=∠BCH，
又∵DE⊥AC，CH⊥BE，
∴△DEF∽△BHC
∴EF：DF=CH：BC=

2 5

5

a：2

2

a=

10

10

．

点评：考查相似三角形的判定和性质，通常情况乘积可以转化成比例的形式．