Question

（2013•包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当

CE

EB

=

1

3

时，求

S△CEF

S△CDF

的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=

2

OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=

1

2

BG．

Answer 1

分析：（1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得；
（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得．

解答：（1）解：∵

CE

EB

=

1

3

，
∴

CE

BC

=

1

4

．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴

EF

DF

=

CE

AD

，
∴

EF

DF

=

CE

BC

=

1

4

，
∴

S△CEF

S△CDF

=

EF

DF

=

1

4

；

（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD=

OA2+OD2

=

2

OA，
∴AF=

2

OA．

（3）证明：连接OE．
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．
∴点O是BD的中点．
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE=

1

2

CD，
∴△OFE∽△CFD．
∴

EF

DF

=

OE

CD

=

1

2

，
∴

EF

ED

=

1

3

．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴

GF

CD

=

EF

ED

=

1

3

．
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴

GF

CD

=

CG

BC

=

1

3

，
∴

CG

BG

=

1

2

．
∴CG=

1

2

BG．

点评：本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键．