题目内容

已知关于x的方程（1-3k）x² $数学公式$ -1=0有实数根，则k的取值范围是________．

0＜k＜ $\text{[math]}$
分析：需分类讨论：①当关于x的方程（1-3k）x² $\text{[math]}$ -1=0是一元一次方程时，根据一元一次方程的定义，列出关于k的方程，求得k值；②当关于x的方程（1-3k）x² $\text{[math]}$ -1=0是一元二次方程时：由关于x的方程（1-3k）x² $\text{[math]}$ -1=0有实数根，得到△=b²-4ac＞0；根据二次根式的定义知k≥0；据此列出关于k的不等式组，通过解不等式组求得k的取值范围即可．
解答：①当关于x的方程（1-3k）x² $\text{[math]}$ -1=0是一元一次方程时，
1-3k=0，且k≥0；
解得k= $\text{[math]}$ ；
②当关于x的方程（1-3k）x² $\text{[math]}$ -1=0是一元二次方程时．
∵关于x的方程（1-3k）x² $\text{[math]}$ -1=0有实数根，
∴ $\text{[math]}$ ，解得0≤k≤ $\text{[math]}$ ，且k≠ $\text{[math]}$ ；
故答案是：0≤k≤ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．