Question

如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCMN，连结AM、BD．
（1）AM与BD有怎样的关系？为什么？
（2）如果将正方形BCMN绕点C逆时针旋转锐角α，其它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍
然成立？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质和已知条件证明△AMC≌△DBC，从而求出AM=BD；
（2）如果将正方形BCMN绕点C逆时针旋转锐角α，其它不变（1）中所得的结论任然成立，先求出∠ACM=∠DCB，然后利用“边角边”证明△AMC和△DBC全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．

解答：（1）∵四边形ACDE和四边形BCMN都为正方形，
∴AC=DC，∠ACD=∠BCD=90°，BC=CM，
在△AFC和△DBC中，

AD=DC ∠ACM=∠DCB BC=CM

，
∴△AMC≌△DBC（SAS）．
∴AM=BD；
（2）如果将正方形BCMN绕点C逆时针旋转锐角α，其它不变（1）中所得的结论任然成立，
理由如下：
AM=BD仍然成立．
理由如下：在正方形ABCE和正方形BCMN中，AB=CD，CM=BC，∠ACD=∠DCB=90°，
∵∠ACM=90°-∠MCD，
∠DCB=90°-∠MCD，
∴∠ACM=∠CDCB，
在△ACM和△DCB中，

AC=CD ∠ACM=∠DCB CM=BC

，
∴∴△AMC≌△DBC（SAS）．
∴AM=BD．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及旋转等知识，熟练利用正方形的性质得出是解题的关键．