题目内容
如图，在等边△ABC中，已知AB=8cm，线段AM为BC边上的中线．点N在线段AM上，且MN=3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的．以点C圆心，以CN为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点．
（1）填空：∠DCE=
（2）如图1当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长．
（3）当点D在MA的延长线上时，请在图2中画出示意图，并直接写出PQ=
当点D在AM的延长线上时，请在图3中画出示意图，并直接写出PQ=
（1）填空：∠DCE=
60
60
度，CN=5
5
cm，AM=4
| 3 |
4
cm．| 3 |
（2）如图1当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长．
（3）当点D在MA的延长线上时，请在图2中画出示意图，并直接写出PQ=
6
6
cm．当点D在AM的延长线上时，请在图3中画出示意图，并直接写出PQ=
6
6
cm．分析：（1）根据旋转的性质可得∠ACD=∠BCE，然后求出∠DCE=∠ACB，从而得解；根据等边三角形的性质求出CM=
BC，再利用勾股定理列式计算即可求出CN；在Rt△ACM中，利用勾股定理列式计算即可求出AM；
（2）过点C作CF⊥PQ于F，根据旋转的性质可得∠CBE=∠CAD=30°．根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CF=
BC，连接CP，利用勾股定理列式求出PF，再根据垂径定理可得PQ=2PF，从而得解；
（3）①点D在MA的延长线上时，根据旋转的性质可得∠CBE=∠CAD，再根据等角的补角相等求出∠CBQ=∠CAM=30°，与（2）同理可求PQ；
②点D在AM的延长线上时，根据旋转的性质可得∠CBE=∠CAD=30°，与（2）同理可求PQ．
| 1 |
| 2 |
（2）过点C作CF⊥PQ于F，根据旋转的性质可得∠CBE=∠CAD=30°．根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CF=
| 1 |
| 2 |
（3）①点D在MA的延长线上时，根据旋转的性质可得∠CBE=∠CAD，再根据等角的补角相等求出∠CBQ=∠CAM=30°，与（2）同理可求PQ；
②点D在AM的延长线上时，根据旋转的性质可得∠CBE=∠CAD=30°，与（2）同理可求PQ．
解答：解：（1）∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠DCE=∠BCD+∠BCE=∠BCD+∠CAD=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°；
∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，
∴BC=AB=8cm，
CM=
BC=
×8=4cm，
在Rt△CMN中，CN=
=
=5cm；
在Rt△ACM中，AM=
=
=4
cm；
（2）过点C作CF⊥PQ于F，
∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，
∴∠CAD=
∠BAC=
×60°=30°，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
∴CF=
BC=
×8=4cm，
连接CP，则PC=CN=5cm，
在Rt△PCF中，PF=
=
=3cm，
由垂径定理得，PQ=2PF=2×3=6cm；
（3）①如图，点D在MA的延长线上时，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠CBQ=∠CAM=30°，
与（2）同理可求PQ=6cm，
②如图，点D在AM的延长线上时，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
与（2）同理可求PQ=6cm，
综上所述，PQ的长度不变都是6cm．
故答案为：（1）60，5，4
；（3）6，6．
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠DCE=∠BCD+∠BCE=∠BCD+∠CAD=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°；
∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，
∴BC=AB=8cm，
CM=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在Rt△CMN中，CN=
| CM2+MN2 |
| 42+32 |
在Rt△ACM中，AM=
| AC2-CM2 |
| 82-42 |
| 3 |
（2）过点C作CF⊥PQ于F，∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，
∴∠CAD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
∴CF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
连接CP，则PC=CN=5cm，
在Rt△PCF中，PF=
| PC2-CF2 |
| 52-42 |
由垂径定理得，PQ=2PF=2×3=6cm；
（3）①如图，点D在MA的延长线上时，∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠CBQ=∠CAM=30°，
与（2）同理可求PQ=6cm，
②如图，点D在AM的延长线上时，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
与（2）同理可求PQ=6cm，
综上所述，PQ的长度不变都是6cm．
故答案为：（1）60，5，4
| 3 |
点评：本题是圆的综合题型，主要考查了等边三角形的性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理的应用，垂径定理，熟记各性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
练习册系列答案
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B、
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C、
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D、
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