题目内容
【题目】如图，在等边△ABC中，BD=CE，将线段AE沿AC翻折，得到线段AM，连结EM交AC于点N，连结DM、CM以下说法：①AD=AM，②∠MCA=60°，③CM=2CN，④MA=DM中，正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
由△ABD≌△ACE，△AEC≌△AMC，△ABC是等边三角形可以对①②进行判断，由AC垂直平分EM和直角三角形的性质可对③进行判断，由△ADM是等边三角形，可对④进行判断.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠BAC=∠ACB=60°，
∵BD=CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，∠BAD=∠EAC，
∵△AEC沿AC翻折得到△AMC，
∴△AEC≌△AMC，
∴AE=AM，∠ECA=∠MCA，
∴AD=AM，∠MCA=60°，故①②正确，
∵△AEC沿AC翻折得到△AMC，
∴AE=AM，EC=CM，
∴点A、C在EM的垂直平分线上，
∴AC垂直平分EM，
∴∠ENC=90°，
∵∠MCA=60°，
∴∠NMC=30°，
∴CM=2CN，故③正确，
∵∠BAD=∠EAC，∠ECA=∠MCA，
∴∠BAD=∠MCA，
∵∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAC+∠CAM=60°，
即∠DAM=60°，又AD=AM，
∴△ADM是等边三角形，
∴MA=DM，故④正确，
综上所述，这四句话都正确，
故选D.
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