Question

【题目】如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D．

（1）求m的值和直线AB的函数关系式；

（2）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当动点P运动到D时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．

①设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；

②如图2，当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O′PQ，是否存在某时刻t，使得点O′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求O′的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=8，直线AB的解析式为y=﹣x+9；

（2）①S=t×8=4t（4＜t≤4.5）；

②存在，O′（4，2）．

当t=个长度单位时，O′恰好落在反比例函数的图象上．

【解析】

试题分析：（1）由于点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=的图象上，根据反比例函数的意义求出m，n，再由待定系数法求出直线AB的解析式；

（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面积公式可求出解析式；

②通过三角形相似，用t的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t值．

试题解析：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=的图象上，

∴m=8×1=8，∴y=，∴8=，即n=1，

设AB的解析式为y=kx+b，

把（8，1）、B（1，8）代入上式得：

，解得：．

∴直线AB的解析式为y=﹣x+9；

（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，

当P在OD上运动时，

S==t2（0＜t≤4），

当P在DB上运动时，

S=t×8=4t（4＜t≤4.5）；

②存在，

当O′在反比例函数的图象上时，

作PE⊥y轴，O′F⊥x轴于F，交PE于E，

则∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t，

由题意知：∠PO′Q=∠POQ，∠QO′F=90°﹣∠PO′E，

∠EPO′=90′﹣∠PO′E，

∴△PEO′∽△O′FQ，

∴，

设QF=b，O′F=a，

则PE=OF=t+b，O′E=2t﹣a，

∴，

解得：a=，b=，

∴O′（t， t），

当O′在反比例函数的图象上时，

，

解得：t=±，

∵反比例函数的图形在第一象限，

∴t＞0，∴t=．∴O′（4，2）．

当t=个长度单位时，O′恰好落在反比例函数的图象上．