Question

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形(如图2所示)．将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B(AB)方向平移(点A，D₁，D₂，B始终在同一直线上)，当点D₁与点B重合时，停止平移．在平移的过程中，C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．
【小题1】当△AC₁D₁平移到如图3所示位置时，猜想D₁E与D₂F的数量关系，并说明理由
【小题2】设平移距离D₂D₁为x，△AC₁D₁和△BC₂D₂重复部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
【小题3】对于(2)中的结论是否存在这样的x，使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

图1                  图2                       图3

Answer 1

【小题1】．                               ……………………1分
∵，∴．∠C₂=∠BED₁
又∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，
∴， DC＝DA＝DB，即
∴，∠C₂=∠B ∴， ∠BED₁=∠B ……………2分
∴，． ．
又∵，∴．∴        ……………………3分
【小题2】∵在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以由勾股定理，得AB＝10．
即
又∵，∴．∴
在中，到的距离就是△ABC的AB边上的高，为．
设的边上的高为h，由探究，得，∴．
∴．．……………………6分
又∵，∴．
又∵，．
∴，
而
∴．       ……………8分
【小题3】存在．                           ………………9分
当时，即
整理，得．解得，．………………11分
即当或时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的．……12分解析:
（1）根据题意，易得∠C₁=∠AFD₂；进而可得C₁D1=C₂D2=BD₂=AD₁，又因为AD₁=BD₂，可得答案；
（2）因为在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，所以由勾股定理，得AB=10；又因为C₂D₁=x，所以D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，由图形可得阴影部分面积的组成，分别用x表示出其面积可得答案．
(3)存在,解关于x的运用二次方程求得