Question

【题目】（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的OA边在轴上，OC边在轴上，且B点坐标为（4，3）．动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动（点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动），过点N作NP∥AB交AC于点P，连结MP．

（1）直接写出OA、AB的长度；

（2）试说明△CPN∽△CAB；

（3）在两点的运动过程中，请求出ΔMPA的面积S与运动时间的函数关系式；

（4）在运动过程中，△MPA的面积S是否存在最大值？若存在，请求出当为何值时有最大值，并求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）OA=4，AB=3；（2）证明见解析；（3）；（4）存在，当=2时有最大值，最大值为．

【解析】试题分析：（1）由矩形的性质，以及B点坐标为（4，3），可直接的出OA、AB的长度；

（2）根据过点N作NP∥AB交AC于点P，直接可得出三角形相似；

（3）用t表示出P点的坐标，可以得出S的关系式；

（4）利用公式可直接得出当t=﹣=2时，二次函数有最大值．

试题解析：解：（1）∵矩形ABCO的OA边在x 轴上，OC边在y轴上，且B点坐标为（4，3），∴OA=4，AB=3；

（2）∵NP∥AB，∴△CPN∽△CAB；

（3）∵P点的横坐标是4﹣t，求出CA的直线为，代入P的横坐标得到P的纵坐标， ，所以P的坐标为（4﹣t， ），∴S△MPA=MA×yP÷2= ×（4﹣t）×= ，t≤4；

（4）由S关于t的函数，当t=﹣=2时，二次函数有最大值=．