Question

已知抛物线y=x²-（2m-1）x+m²-m-2
（1）此抛物线与x轴有几个交点？试说明理由．
（2）分别求出抛物线与x轴的交点A，B的横坐标x_A，x_B，以及与y轴的交点C的纵坐标y_C（用含m的代数式表示）．
（3）设△ABC的面积为6，且A，B两点在y轴的同侧，试求抛物线的表达式．

Answer 1

分析：（1）找出a，b及c的值，表示出根的判别式，根据根的判别式的值恒大于0，即可得到抛物线与x轴有两个交点；
（2）分别令x与y为0，求出对应y与x的值，即可得到结果；
（3）由题意表示出三角形ABC的面积，根据已知的面积列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出抛物线解析式．

解答：解：（1）抛物线与x轴有两个交点，理由为：
这里a=1，b=-（2m-1），c=m²-m-2，
∵△=[-（2m-1）]²-4（m²-m-2）=4m²-4m+1-4m²+4m+8=9＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点；

（2）令y=0，得到x²-（2m-1）x+m²-m-2=0，即（x-m+2）（x-m-1）=0，
解得：x_A=m-2，x_B=m+1；
令x=0，得到y=m²-m-2，即y_C=m²-m-2；

（3）根据题意得：△ABC的面积S=

1

2

•|y_C|•|x_A-x_B|=

3

2

|m²-m-2|=6，
∴m²-m-2=4或m²-m-2=-4，
解得：m=3或m=-2，
则抛物线解析式为y=x²-5x+4或y=y=x²+5x+4．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴有没有交点由根的判别式的值来决定．