题目内容

【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx经过点A(﹣3,4),直线l与x轴相交于点B,与AOB的平分线相交于点C,直线l的解析式为y=kx﹣5k(k0),BC=OB.

(1)若点C在此抛物线上,求抛物线的解析式;

(2)在(1)的条件下,过点A作y轴的平行线,与直线l相交于点D,设P为抛物线上的一个动点,连接PA、PD,当时,求点P的坐标.

【答案】(1)y=x2+x;(2)(﹣1,0)或(﹣5,

【解析】

试题分析:(1)如图,先求出B点坐标,则可得到OA=OB=5,再证明AOCB,加上OB=BC=5,则可判断四边形AOBC为平行四边形,所以ACOB,AC=OB=5,于是得到C(2,4),然后利用待定系数法求抛物线解析式;

(2)如图,先确定直线l的解析式为y=﹣x+,再确定D点坐标,则可求出AD的长,设P(t,t2+t),利用三角形面积公式和得到|t+3|=54,然后解绝对值方程求出t的值,从而可确定点P的坐标.

试题解析:(1)如图,A(﹣3,4),

OA==5,

当y=0时,kx﹣5k=0,解得x=5,则B(5,0),

BC=BO=5,

∴∠BOC=BCO,

OC平分AOB,

∴∠AOC=BOC,

∴∠AOC=BCO,

AOCB,

而OA=BC=5,

四边形AOBC为平行四边形,

ACOB,AC=OB=5,

C(2,4),

把A(﹣3,4),C(2,4)代入y=ax2+bx得

解得a=,b=

抛物线的解析式为y=x2+x;

(2)如图,把C(2,4)代入y=kx﹣5k得2k﹣5k=4,解得k=﹣

直线l的解析式为y=﹣x+

当x=﹣2时,y=﹣x+=,则D(﹣3,),

AD=﹣4=

设P(t,t2+t),

|t+3|=54,解得t=﹣1或t=﹣5,

点P的坐标为(﹣1,0)或(﹣5,).

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