题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等,则这个点叫做和谐点.例如,图中过点P分别作x轴、y轴的垂线,与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等,则点P是和谐点.
(1)判断点M(1,2),N(4,4)是否为和谐点,并说明理由;
(2)若和谐点P(a,3)在直线y=-x+b(b为常数)上,求a,b的值;
(3)若直线y=2x+12上存在和谐点,写出此点的坐标:( ).
【答案】(1)M不是和谐点,N是和谐点;(2)a=6,b=9或a=-6,b=-3;(3) 或(-3,6)或(-4,4).
【解析】试题分析:(1)利用和谐点的定义直接判断得出即可;
(2)利用和谐点的定义,得出3×|a|=2×(|a|+3),然后通过分类讨论即可得;
(3)分三种情况:点在第一象限,点在第二象限,点在第三象限,按定义进行计算即可得.
试题解析:(1)M不是和谐点,N是和谐点.根据题意,对于M而言,面积为1×2=2,周长为2×(1+2)=6,所以M不是和谐点,对于N而言,面积为4×4=16,周长为2×(4+4)=16,所以N是和谐点.
(2)因为P(a,3)是和谐点,所以根据题意得3×|a|=2×(|a|+3).
①当a>0时,3a=2(a+3),3a=2a+6,解得a=6,将(6,3)代入y=-x+b得3=-6+b,解得b=9.
②当a<0时,-3a=2(-a+3),-3a=-2a+6,解得a=-6,将(-6,3)代入y=-x+b得3=6+b,解得b=-3.
所以a=6,b=9或a=-6,b=-3.
(3) 或(-3,6)或(-4,4).
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