题目内容

【题目】如图,已知ABCABAC=6,BC=8,点DBC边上的一个动点,点EAC边上,∠ADEB.设BD的长为xCE的长为y

(1)当DBC的中点时,求CE的长;

(2)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;

(3)如果ADE为等腰三角形,求x的值.

【答案】(1);(2) y=﹣x2+x(0≤x<8);(3) 2或.

【解析】

(1)先根据等腰三角形的性质由AB=AC得∠B=C,再利用三角形外角性质得∠ADC=ADE+CDE=B+BAD,加上∠ADE=B,则∠BAD=CDE,根据相似三角形的判定方法待定ABD∽△DCE,利用相似比得到y=-x2x(0≤x≤8),然后把x=4代入计算得到CE的长为
(2)由(1)得到y关于x的函数关系式为y=-x2x(0≤x≤8);
(3)由于∠AED>C,而∠B=ADE=C,则∠AED>ADE,所以AE<AD,然后分类讨论:当DA=DE时,利用ABD∽△DCE得到=1,即x=y,得到一元二次方程-x2x=x,解方程得x1=0(舍去),x2=2;当EA=ED时,得到∠EAD=ADE,而∠ADE=C,所以∠EAD=C,可判断DAC∽△ABC,利用相似比得到=,解得x=

解:(1)ABAC

∴∠BC

∵∠ADCADE+CDEB+BAD

而∠ADEB

∴∠BADCDE

∴△ABD∽△DCE

y=-x2x,

x=4, y=-×16+×4=

即当DBC的中点时,CE的长为

(2)由(1)得y关于x的函数关系式为y=-x2x(0≤x≤8);

(3)∵∠AEDC

而∠BADEC

∴∠AEDADE

AEAD

DADE时,

∵△ABD∽△DCE

,即=1,

xy

-x2x=x,解得x1=0(舍去),x2=2,

EAED时,则∠EADADE

而∠ADEC

∴∠EADC

∴△DAC∽△ABC

,即=

x

综上所述,当ADE为等腰三角形,x的值为2

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