题目内容

(11·台州)(14分)已知抛物线y=a(x-m)2+n与y轴交于点A,它的顶点为
点B,点A、B关于原点O的对称点分别为C、D.若A、B、C、D中任何三点都不在一直
线上,则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形,直线AB为抛物线的伴随直线.
(1)如图1,求抛物线y=(x-2)2+1的伴随直线的解析式.
(2)如图2,若抛物线y=a(x-m)2+n(m>0)的伴随直线是y=x-3,伴随四边形的面积为12,求此抛物线的解析式.
(3)如图3,若抛物线y=a(x-m)2+n的伴随直线是y=-2x+b(b>0),且伴随四边形ABCD是矩形.
①用含b的代数式表示m、n的值;
②在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBD是一个等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标(用含b的代数式表示),若不存在,请说明理由.
(1)由已知得B (2,1),A (0,5).                 ……………………1分
设所求直线的解析式为y=kx+b,     ……………………1分

∴所求直线的解析式为y=-2x+5   ……………………1分
(2)如图,作BE⊥AC于点E,由题意得四边形ABCD是平行四边形,点A的坐标为
(0,-3),点C的坐标为 (0,3)                   ……………………1分
可得AC=6                                    ……………………1分
∵□ABCD的面积为12,

∵m>0,即顶点B有y轴的右侧,且在直线y=x-3上,
∴顶点B的坐标为B (2,-1)                    ……………………1分
又抛物线经过点A (0,-3)

(3)①方法一:如图,作BE⊥x轴于点E
由已知得:A的坐标为 (0,b),C的坐标为 (0,-b).
∵顶点B (m,n)在直线y=-2x+b上,
∴n=-2m+b,即点B的坐标为(m,-2m+b)    ……………………1分
在矩形ABCD中,OC=OB,
OC2=OB2
即b2=m2+(-2m+b) 2
∴5m2-4mb=0
∴m (5m-4b)=0

方法二:如图,作BE⊥x轴于点E
类似方法一可得:A的坐标为 (0,b),C的坐标为 (0,-b).
∵顶点B (m,n)在直线y=-2x+b上,
∴n=-2m+b,即点B的坐标为(m,-2m+b)    ……………………1分
∴AE=b-(-2m+b)=2m
CE=-2m+b-(-b)=2b-2m,BE=m,
∵AB⊥BC于点B,
∴△ABC∽△AEB,
BE2=AE·CE,即m2=2m(2b-2m),

(只写“存在”的给1分)
解析:
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