题目内容
【题目】如图甲,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,如果点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s,连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<4).
(1)当t为何值时,PQ∥BC;
(2)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;
(3)如图乙,连接PC,将△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,当四边形PQP′C为菱形时,求t的值.
【答案】(1)当t=秒,PQ∥BC;(2)不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分;(3)当四边形PQP'C为菱形时,t的值为
秒.
【解析】
(1)先根据勾股定理求得AB=5,由运动知,BP=t,得出AP=5﹣t,AQ=t,再得出,代入建立方程即可得出结论;
(2)先求出S△AQPS△ABC,再求出S△ABC=6,进而的粗S△AQP=3,再表示出PG
(5﹣t),利用S△AQP
t2
t=3,建立方程,即可得出结论;
(3)先判断出PE⊥AC,QE=EC,再判断出△APE∽△ABC,进而得出AEt+4,QE=AE﹣AQ
t+4,建立方程即可得出结论.
在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,根据勾股定理得:AB=5,
由运动知,BP=t,
∴AP=5﹣t,AQ=t.
∵PQ∥BC,
∴,
∴,
∴t,
∴当t秒,PQ∥BC;
(2)假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,
∴S△AQPS△ABC.
∵S△ABCACBC=6,
∴S△AQP=3,过点P作PG⊥AC于G.
∵PG∥BC,
∴,
∴,
∴PG(5﹣t),
∴S△AQPAQPG
t
(5﹣t)
t2
t,
∴t2
t=3,即:t2﹣5t+10=0.
∵△=25﹣40=﹣15<0,
∴此方程无实数根,
∴不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分;
(3)如图乙.连接PP',PP'交QC于E,当四边形PQP'C为菱形时,PE垂直平分QC,即:PE⊥AC,QE=EC.
∵∠ACB=90°,
∴PE∥BC,
∴△APE∽△ABC,
∴,
∴AEt+4,QE=AE﹣AQ
t+4﹣t
t+4,
∴t+4
t+2,
∴t.
∵04,
∴当四边形PQP'C为菱形时,t的值为秒.

【题目】自2016年国庆后,许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率,准备对收费作如下调整:一天中,同一个人第一次使用的车费按0.5元收取,每增加一次,当次车费就比上次车费减少0.1元,第6次开始,当次用车免费.具体收费标准如下:
使用次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5(含5次以上) |
累计车费 | 0 | 0.5 | 0.9 | 1.5 |
同时,就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿,得到如下数据:
使用次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人数 | 5 | 15 | 10 | 30 | 25 | 15 |
(Ⅰ)写出的值;
(Ⅱ)已知该校有5000名师生,且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元.试估计:收费调整后,此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利? 说明理由.