Question

【题目】如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，如果点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．

（1）当t为何值时，PQ∥BC；

（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

（3）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）当t=秒，PQ∥BC；（2）不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；（3）当四边形PQP'C为菱形时，t的值为秒．

【解析】

（1）先根据勾股定理求得AB＝5，由运动知，BP＝t，得出AP＝5﹣t，AQ＝t，再得出，代入建立方程即可得出结论；

（2）先求出S△AQPS△ABC，再求出S△ABC＝6，进而的粗S△AQP＝3，再表示出PG（5﹣t），利用S△AQPt2t＝3，建立方程，即可得出结论；

（3）先判断出PE⊥AC，QE＝EC，再判断出△APE∽△ABC，进而得出AEt+4，QE＝AE﹣AQt+4，建立方程即可得出结论．

在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，根据勾股定理得：AB＝5，

由运动知，BP＝t，

∴AP＝5﹣t，AQ＝t．

∵PQ∥BC，

∴，

∴，

∴t，

∴当t秒，PQ∥BC；

（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，

∴S△AQPS△ABC．

∵S△ABCACBC＝6，

∴S△AQP＝3，过点P作PG⊥AC于G．

∵PG∥BC，

∴，

∴，

∴PG（5﹣t），

∴S△AQPAQPGt（5﹣t）t2t，

∴t2t＝3，即：t2﹣5t+10=0．

∵△＝25﹣40＝﹣15＜0，

∴此方程无实数根，

∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；

（3）如图乙．连接PP'，PP'交QC于E，当四边形PQP'C为菱形时，PE垂直平分QC，即：PE⊥AC，QE＝EC．

∵∠ACB=90°，

∴PE∥BC，

∴△APE∽△ABC，

∴，

∴AEt+4，QE＝AE﹣AQt+4﹣tt+4，

∴t+4t+2，

∴t．

∵04，

∴当四边形PQP'C为菱形时，t的值为秒．