题目内容
【题目】综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使
≌
，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，
是等腰三角形．
【答案】（1）
；B（8,0）；E（3，-4）；（2）（
）或（
）；（3）
或
.
【解析】
试题（1）将A，D的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式；点B坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标；点E坐标：E为直线l和抛物线对称轴的交点，利用D点坐标求出l表达式，令其横坐标为
，即可求出点E的坐标；（2）利用全等对应边相等，可知FO=FC，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所以点F的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标；（3）根据点P在y轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解.
试题解析：（1）
抛物线
经过点A（－2，0），D（6，－8），
解得
抛物线的函数表达式为
，抛物线的对称轴为直线．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（－2，0）．点B的坐标为（8，0）
设直线l的函数表达式为
．点D（6，－8）在直线l上，6k=－8，解得
．
直线l的函数表达式为
点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为
，
即点E的坐标为（3，－4）
（2）抛物线上存在点F，使
≌
．点F的坐标为（）或（）
（3）分两种情况：
①当
时，
是等腰三角形．
点E的坐标为（3，－4），
，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则
，
点M的坐标为（0，－5）．
设直线ME的表达式为
，
，解得
，ME的函数表达式为
，令y=0，得
，解得x=15，点H的坐标为（15，0）
又MH//PB，
，即
，
②当
时，是等腰三角形． 当x=0时，
，点C的坐标为（0，－8），
，OE=CE，
，又因为，
，
，CE//PB
设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为
，
，解得
，
CE的函数表达式为
，令y=0，得
，
，点N的坐标为（6，0）
CN//PB，
，
，解得
综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形．
