Question

如图，已知半圆的半径OA=1，将一个三角板的直角顶点固定在圆心上，当三角板绕着圆心转动时，三角板的两条直角与半圆分别交于C、D两点，连接AD、BC交于点E．
（1）求证：△ACE∽△BDE；
（2）当三角板旋转至∠AOC=30°时，求AE与BE的长．

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=∠ADB=90°，又对顶角相等得到∠CEA=∠DEB，即可证得△ACE∽△BDE；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC=

1

2

×30°=15°，而∠COD=90°，得到∠DOB=60°，则△ODB为等边三角形，∠DBE=60°-15°=45°，由可得到△DBE为等腰直角三角形，由OA=1，根据等边三角形的性质和等腰直角三角形和含30°的直角三角形三边的关系，即可计算出AE与BE的长．

解答：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
而∠CEA=∠DEB，
∴△ACE∽△BDE；

（2）解：∵∠AOC=30°，∠COD=90°，
∴∠DOB=90°-30°=60°，∠ABC=

1

2

×30°=15°，
∴△ODB为等边三角形，
∴∠DBE=60°-15°=45°，
∴△DBE为等腰直角三角形，
而OA=1，
∴AB=2，BD=1，
∴DE=1，BE=

2

BD=

2

，AD=

3

BD=

3

，
∴AE=AD-DE=

3

-1．
即AE与BE的长分别为

3

-1，

2

．

点评：本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．也考查了等腰直角三角形三边的关系以及含30°的直角三角形三边的关系．