Question

如图，已知半圆O的直径AB=10，⊙O₁与半圆O内切干点C，与AB相切干点D，
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）若AC：CB=1：3，求△CDB的面积S_△CDB；
（3）设AC：CB=x（x＞0），⊙O₁的半径为y，请用含x的代数式表示y．

Answer 1

分析：（1）过点C作两圆外公切线MN，由角之间的等量关系，证明∠ACD=∠BCD，
（2）在Rt△ABC中，解得AC、BC的长，求出三角形面积，
（3）连接OO₁并延长，则必过切点C，连O₁D，求出AC、BC，由CE∥O₁D，列出x、y的关系式．

解答：（1）证明：过点C作两圆外公切线MN；
∵AB与⊙O₁相切于点D，
∴∠MCD=∠ADC，∠MCA=∠ABC．
∵∠MCD=∠MCA+∠ACD，
∠ADC=∠ABC+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCD，即CD平分∠ACB．

（2）解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，AC²+CB²=AB²，即AC²+CB²=100
已知AC：CB=1：3，
解得AC=

10

，CB=3

10

；
S_△ACB=

1

2

AC•CB=

1

2

•

10

•3

10

=15

S△CDB

S△CDA

=3
∴S_△CDB=

45

4

．

（3）解：已知AC：CB=x，AC²+CB²=100解得
AC=

10x

x2+1

，CB=

10

x2+1

，
过点C作CE⊥AB交AB于点E，S_△ABC=

1

2

AB•CE，
解得CE=

10x

x2+1

（x＞0）．
连接OO₁并延长，则必过切点C，连O₁D，则O₁D⊥AB，
∴CE∥O₁D，
∴

CE

y

=

5

5-y

．
y=

10x

(x+1)2

（x＞0）．

点评：本题主要考查两圆相切的性质，还考查的圆周角定理等知识点．