圆周角:(1)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半等于它所对圆心角的一半．(2)推论:①圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等相等,在同圆或等圆中.相等的圆周角所对的弧相等弧相等．③直径所对的圆周角是90°90°,90°的圆周角所对的弦是直径是直径．④如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半.那么题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

圆周角：
（1）定理：一条弧所对的圆周角

等于它所对圆心角的一半

．
（2）推论：①圆周角的度数等于它所对弧的度数的

一半

．
②同弧或等弧所对的圆周角

相等

；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的

弧相等

．
③直径所对的圆周角是

90°

；90°的圆周角所对的弦

是直径

．
④如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么

这个三角形是直角三角形

．

分析：利用圆周角的定理以及推论直接填空即可．

解答：解：圆周角：
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
（2）推论：①圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
③直径所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．
④如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
故答案为：（1）等于它所对圆心角的一半．（2）①一半．②相等，弧相等．③90°，是直径．④这个三角形是直角三角形．

点评：此题考查圆周角的定理以及推论，掌握基础知识是解决问题的关键．

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∴

同理可证∠B+∠D=180°
回答下列问题：

（1）请用数学语言概括上面得到的结论：______；
（2）若延长BC到点E，则∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BAD 是它的内对角，∠DCE与∠A的大小关系是____，请用数学语言概括并证明这个结论。

如图，△内接于⊙，点在的延长线上，sinB＝,∠CAD＝30°⑴求证:是⊙的切线；⑵若,求的长。

【解析】（1）连接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圆周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等边三角形，从而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线；

（2）由于OC⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函数值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求AD．

【考点】切线的性质；圆周角定理．

【专题】计算题．

【分析】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，在四边形APOB中，根据四边形的内角和求出∠AOB的度数，再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出∠ADB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠ACB的度数．

【解答】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），

连接BD，AD，如图所示：

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

∴∠OAP＝∠OBP=90°，又∠P＝40°，

∴∠AOB＝360°－(∠OAP＋∠OBP＋∠P)＝140°，

∵圆周角∠ADB与圆心角∠AOB都对弧AB，

∴∠ADB＝∠AOB＝70°，

又∵四边形ACBD为圆内接四边形，

∴∠ADB＋∠ACB＝180°，

则∠ACB＝110°．

故选B。

【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

如图，△内接于⊙，点在的延长线上，sinB＝,∠CAD＝30°⑴求证:是⊙的切线；⑵若,求的长。

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