题目内容
设抛物线与x轴交于两个不同的点A(-1,0)、B(m,0),与y轴交于点C.且∠ACB=90°.
(1)求m的值;
(2)求抛物线的解析式,并验证点D(1,-3 )是否在抛物线上;
(3)已知过点A的直线交抛物线于另一点E. 问:在x轴上是否存在点P,使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似?若存在,请求出所有符合要求的点P的坐标. 若不存在,请说明理由.
解:(1)令x=0,得y=-2 ∴C(0,-2)
∵∠ACB=90°,CO⊥AB ,∴△AOC ∽△COB ,∴OA?OB=OC2
∴OB= ∴m=4
(2)将A(-1,0),B(4,0)代入,解得
∴抛物线的解析式为
当x=1时,=-3,∴点D(1,-3)在抛物线上。(3)由 得 ,∴E(6,7)
过E作EH⊥x轴于H,则H(6,0),
∴ AH=EH=7 ∴∠EAH=45°
作DF⊥x轴于F,则F(1,0)
∴BF=DF=3 ∴∠DBF=45°
∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135°,90°<∠EBA<135°
则点P只能在点B的左侧,有以下两种情况:
①若△DBP1∽△EAB,则,∴
∴,∴
②若△∽△BAE,则,∴
∴ ∴
综合①、②,得点P的坐标为:
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