题目内容

设抛物线x轴交于两个不同的点A(-1,0)、Bm,0),与y轴交于点C.且∠ACB=90°.

(1)求m的值;

(2)求抛物线的解析式,并验证点D(1,-3 )是否在抛物线上;

(3)已知过点A的直线交抛物线于另一点E. 问:在x轴上是否存在点P,使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似?若存在,请求出所有符合要求的点P的坐标. 若不存在,请说明理由.

 


解:(1)令x=0,得y=-2   ∴C(0,-2)

∵∠ACB=90°,COAB ,∴△AOC ∽△COB ,∴OA?OB=OC2

OB       ∴m=4    

(2)将A(-1,0),B(4,0)代入,解得

∴抛物线的解析式为

x=1时,=-3,∴点D(1,-3)在抛物线上。(3)由    得   ,∴E(6,7)

EEHx轴于H,则H(6,0),

AH=EH=7      ∴∠EAH=45°

DFx轴于F,则F(1,0)

BF=DF=3         ∴∠DBF=45°

∴∠EAH=∠DBF=45°

∴∠DBH=135°,90°<∠EBA<135°

则点P只能在点B的左侧,有以下两种情况:

①若△DBP1∽△EAB,则,∴

,∴

②若△∽△BAE,则,∴

   ∴

综合①、②,得点P的坐标为:

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