题目内容
【题目】如图,等腰直角三角形ABC中,点D在斜边BC上,以AD为直角边作等腰直角三角形ADE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)求证:BD2+CD2=2AD2.
【答案】见解析
【解析】
(1)通过证BA=CA,AD=AE,∠BAD=∠CAE,得出△ABD≌△ACE;
(2)证CE=BD,DE2=2AD2,再在Rt△CDE中利用勾股定理即可.
解:∵△ABC,△ADE是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠DAE=90°,BA=CA,AD=AE,∠B=∠ACB=∠ADE=∠AED=45°,
∴∠BAD+∠DAC =∠CAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,BA=CA,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE.
(2)∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE=45°,BD=CE.
∴∠ECD=∠ACE+∠ACB=90°,
∴CE2+CD2=DE2.
∵△ADE是等腰直角三角形,
∴DE2=AD2+AE2=2AD2.
∴BD2+CD2=2AD2.

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