Question

（1）已知a、b为有理数，x，y分别表示5-

7

的整数部分和小数部分，且满足axy+by²=1，求a+b的值． 
（2）设x为一实数，[x]表示不大于x的最大整数，求满足[-77.66x]=[-77.66]x+1的整数x的值．

Answer 1

分析：（1）运用估算的方法，先确定x，y的值，再代入xy+by²=1中求出a、b的值；（2）运用[x]的性质，简化方程．注：设x为一实数，则[x]表示不大于x的最大整数，[x]]又叫做实数x的整数部分，有以下基本性质：①x-1＜[x]≤x ②若y＜x，则[y]≤[x]③若x为实数，a为整数，则[x+a]=[x]+a．

解答：解：（1）∵2＜5-

7

＜3，
∴x=2，y=3-

7

；
∵axy+by²=1，
∴a•2•（3-

7

）+b（3-

7

）²=1，即（-2a-6b）

7

+（6a+16b-1）=0．
∵a、b为有理数，
∴

-2a-6b=0 6a+16b-1=0

，
解得，

a= 3 2 b=- 1 2

，
∴a+b=1；

（2）∵x是整数，
∴[-77.66x]=-78x+[0.34x]，又[-77.66x]=-78x，
∴原方程化为-78x+[0.34x]=-78x+1，即[0.34x]=1，
由此得原方程的解为x=3、4或5．

点评：本题考查了无理数的大小的估算．解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．