Question

在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．

Answer 1

（2)猜想：PG=PC,证明见解析
(3)猜想：PG=PC

试题分析：（2）延长GP交DA于点E，连接EC，GC，先证明△DPE≌△FPG，再证得△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=PC．
（3）PG=PC．
试题解析：（2）猜想：PG=PC
如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，

∵∠ABC=60°，△BGF正三角形
∴GF//BC//AD，
∴∠EDP=∠GFP，
又∵DP=FP，∠DPE=∠FPG
∴△DPE≌△FPG（ASA）
∴PE=PG，DE=FG=BG，
∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，
∴△CDE≌△CBG（SAS）
∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，
∴∠ECG=∠DCB=120°，
∵PE=PG，
∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°
∴PG=PC．
（3）猜想：PG=PC．