Question

已知⊙O过点D（3，4），点H与点D关于x轴对称，过H作⊙O的切线交x轴于点A．
（1）求sin∠HAO的值；
（2）如图，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin∠CGO的大小怎样变化，请说明理由．

Answer 1

解：（1）点D（3，4）在⊙O上，
∴⊙O的半径r=OD=5；
如图，连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，
∴∠HAO=∠OHQ，
∴sin∠HAO=sin∠OHQ==；

（2）解：不变．
如图，设点D关于x轴的对称点为H，连接HD交OP于Q，则HD⊥OP，
又DE=DF，
∴DH平分∠BDC，
∴=．
∴连接OH，则OH⊥BC，
在Rt△OKG与Rt△OHQ中，
∵∠OKG=∠OEH=90°，∠HOG=∠HOG，
∴∠CGO=∠OHQ，
∴sin∠CGO=sin∠OHQ==，
所以不变．
分析：（1）因为点D在圆上，根据点D的坐标利用勾股定理即可求得OD的长，即半径；连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，根据同角的余角相等可得到∠HAO=∠OHQ，根据已知可求得sin∠OHQ的值，则sin∠HAO的值也就求得了；
（2）设点D关于x轴的对称点为H，连接HD交OP于Q，则HD⊥OP，根据角平分线的性质及垂径定理可得到∠CGO=∠OHQ，则求得sin∠OHQ的值sin∠CGO也就求得了．
点评：此题主要考查学生对切线性质，关于x轴、y轴、原点对称点的坐标，解直角三角形及垂径定理等知识点的综合运用．