Question

设m是整数，关于x的方程mx²-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为

1. A.
   
2. B.
   x=-1
3. C.
   
4. D.
   有无数个根

Answer 1

C
分析：（1）当m=0，原方程变为：x+1=0，解得x=-1，为有理根；
（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，则△=b²-4ac为完全平方数，即△=（m-1）²-4m=（m-3）²-8为完全平方数，设（m-3）²-8=n²，即（m-3）²=8+n²，而m是整数，完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9，经过分析得到m-3=3，即m=6，方程为：6x²-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，解得x₁=，x₂=．
解答：（1）当m=0，原方程变为：x+1=0，
解得x=-1，为有理根；
（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，
∵方程mx²-（m-1）x+1=0有有理根，
∴△=b²-4ac为完全平方数，即△=（m-1）²-4m=（m-3）²-8为完全平方数，
而m是整数，
∴设（m-3）²-8=n²，即（m-3）²=8+n²，
∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9．
∴n²的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8，
∴n=1，
∴m-3=3，即m=6，
所以方程为：6x²-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，
∴x₁=，x₂=，
故选C．
点评：本题考查了一元二次方程有有理根的条件：△=b²-4ac为完全平方数．也考查了分类讨论的思想的运用和一元二次方程的解法．